Problema:
Un acuario de 2 m de largo, 1 m de ancho y 1 m de profundidad se encuentra completamente lleno de agua. Se desea bombear la mitad del agua hasta justo por encima del borde superior, es decir, sacarla a nivel de la parte superior del acuario. Calcular el trabajo necesario para realizar dicha operación.
Solución detallada
1. Datos y consideraciones
- Densidad del agua: asumimos $$\rho = 1000 \text{ kg/m}^3.$$
- Aceleración de la gravedad: $$g = 9.8 \text{ m/s}^2.$$
-
Dimensiones del acuario:
- Largo = 2 m
- Ancho = 1 m
- Profundidad = 1 m
- Volumen total del acuario: $$V_{\text{total}} = (2 \times 1 \times 1)\,\text{m}^3 = 2\,\text{m}^3.$$ Puesto que se bombea la mitad del agua, el volumen a bombear es $$1\,\text{m}^3.$$
- Supondremos un sistema de coordenadas vertical \(y\) con \(y=0\) en el fondo del acuario y \(y=1\) en la superficie libre cuando está lleno. La parte superior del acuario, por donde se extrae el agua, se sitúa a \(y=1\).
Como solo se bombea la mitad del agua, estamos sacando la parte superior del líquido, es decir, de \(y = 0.5\) a \(y = 1\).
2. Volumen de una rebanada diferencial
Consideremos una capa horizontal de agua a una altura \(y\). El grosor de esta capa es \(\mathrm{d}y\), y su área en planta es la longitud por el ancho:
- Área = \(A = 2 \times 1 = 2\ \text{m}^2.\)
Por tanto, el volumen de la rebanada es:
$$ \mathrm{d}V = A\,\mathrm{d}y = 2\,\mathrm{d}y. $$3. Masa y peso de la rebanada
La masa de esa rebanada de agua es \(\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V\), con \(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\). Así:
$$ \mathrm{d}m = 1000 \times 2\,\mathrm{d}y = 2000\,\mathrm{d}y \quad (\text{kg}). $$El peso de dicha rebanada es \(\mathrm{d}F = g\,\mathrm{d}m\):
$$ \mathrm{d}F = 9.8 \times 2000\,\mathrm{d}y = 19600\,\mathrm{d}y \quad (\text{newtons}). $$4. Distancia que se bombea cada rebanada
Para elevar el agua hasta el borde, el nivel \(y=1\), una rebanada situada a la altura \(y\) se debe subir:
$$ 1-y. $$5. Trabajo diferencial
El trabajo para bombear la capa comprendida entre \(y\) y \(y+\mathrm{d}y\) es:
$$ \mathrm{d}W = \mathrm{(Fuerza)} \times \mathrm{(Distancia)} = 19600\,\mathrm{d}y \times (1 - y). $$Por tanto:
$$ \mathrm{d}W = 19600(1-y)\,\mathrm{d}y. $$6. Trabajo total: integral
Bombeamos agua desde \(y=0.5\) hasta \(y=1\). El trabajo total es:
$$ W = \int_{0.5}^{1} 19600(1-y)\,\mathrm{d}y. $$Calculamos:
$$ W = 19600 \int_{0.5}^{1} (1-y)\,\mathrm{d}y = 19600 \left[ y - \frac{y^2}{2} \right]_{0.5}^{1}. $$Evaluando el corchete:
$$ \left[ y - \frac{y^2}{2} \right]_{0.5}^{1} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) - \left(0.5 - \frac{0.25}{2}\right). $$Es decir:
$$ \left[ y - \frac{y^2}{2} \right]_{0.5}^{1} = 0.5 - 0.375 = 0.125. $$Entonces:
$$ W = 19600 \times 0.125 = 2450\ \text{J}. $$7. Resultado final
El trabajo necesario para bombear la mitad superior del agua, es decir, \(1\ \text{m}^3\), hasta el borde del acuario es:
$$ \boxed{W = 2450\ \text{J}} $$O, equivalentemente:
$$ \boxed{W = 2.45\ \text{kJ}}. $$Observación: Si se realiza un cálculo aproximado multiplicando el peso total del agua extraída, \(9800\ \text{N}\), por la altura media de elevación, \(0.25\ \text{m}\), también se obtiene:
$$ 9800 \cdot 0.25 = 2450\ \text{J}, $$confirmando la coherencia del resultado.
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